已知集合M={}.若对于任意实数对(x1.y1)∈M.存在(x2.y2)∈M.使x1x2+y1y2=0成立.则称集合M是“垂直对点集．给出下列四个集合:①M={(x.y)|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}, ②M={(x.y)|y=log2x}, ③M={(x.y)|y=2x-2},④M={(x.y)|y=sinx+1}．其中是“垂直对点集的序号是( )A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}；
②M={（x，y）|y=log₂x}；
③M={（x，y）|y=2^x-2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}．
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

②③④

分析由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．

解答解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：
曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}，其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接近，
据幂函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=$\frac{1}{{x}^{2}}$的图象相交，
即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=$\frac{1}{{x}^{2}}$}是“垂直对点集”．
②M={（x，y）|y=log₂x}，（x＞0），
取（1，0），则不存在点（x₂，log₂x₂）（x₂＞0），满足1×x₂+0=0，
因此集合M不是“垂直对点集”；
对于③M={（x，y）|y=2^x-2}，其图象过点（0，-1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
据指数函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2^x-2的图象相交，
即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2^x-2}是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，在图象上任取一点A，
连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；
综上可得：只有①③④是“垂直对点集”．
故选：C