Question

20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），即可求出f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）求出x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{4}$的取值范围，即可得出sin（2x+$\frac{π}{4}$）的取值范围，从而求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
=（1+2sinxcosx）+2•$\frac{1+cos2x}{2}$-2
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，$\frac{π}{2}$≤2x≤$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\sqrt{2}$≤f（x）≤1；
即函数f（x）的值域是[-$\sqrt{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．