Question

10．已知函数f（x）满足f（log_ax）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}$（x-x^-1），其中a＞0，a≠1，
（1）讨论f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（-2m）＜0，求实数m取值的集合；
（3）是否存在实数a，使得当x∈（-∞，2）时f（x）的值恒为负数？，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，求出函数的解析式，再讨论f（x）的奇偶性和单调性；
（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1-m）+f（-2m）＜0有-1＜1-m＜2m＜1，即可求实数m取值的集合；
（3）由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，求出a的范围，可得结论．

解答 解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），…（2分）
因为f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）是R上的奇函数；…（4分）
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x是增函数，-a^-x是增函数
所以f（x）是R上的增函数；
当0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x是减函数，-a^-x是减函数，
所以f（x）是R上的增函数；
综上所述，a＞0，a≠1，f（x）是R上的增函数 …（6分）
（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1-m）+f（-2m）＜0有-1＜1-m＜2m＜1，
解得$\frac{1}{3}$＜m＜$\frac{1}{2}$  …（9分）
（3）因为f（x）是R上的增函数，
由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，
即f（2）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a²-a^-2）≤0
解得 a＜0，与a＞0，a≠1矛盾，
所以满足条件的实数a不存在．…（13分）

点评 本题考查函数解析式的求解，考查函数的性质，考查学生解不等式的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．