Question

对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]=3，[-3.4]=-4等），设函数f（x）=x-[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数．其中正确结论的是

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据[x]定义，结合函数的周期性，奇偶性以及取值分别进行判断即可．

解答： 解：由题意有[x]≤x＜[x]+1
∴f（x）=x-[x]≥0，且f（x）＜1
∴①②正确
∵f（x+1）=x+1-[x+1]=x+1-（[x]+1）=x-[x]=f（x）
∴f（x）为周期函数，故③正确，
∵f（-0.1）=-0.1-[-0.1]=-0.1-（-1）=0.9，
f（0.1）=0.1-[0.1]=0.1-0=0.1≠f（-0.1）
∴f（x）不是偶函数，故④错误，
故正确的结论是①②③，
故答案为：①②③

点评：本题考查了在新定义下，判断函数的取值范围，单调性，奇偶性．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．