Question

【题目】已知椭圆E：（），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为2.

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得，解出即可；

（Ⅱ）设的方程为，的方程为，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得，，由四边形为菱形可得，可得，再根据基本不等式即可求出最值．

解：（Ⅰ）∵四边形为正方形，且面积为2，

∴，

解得，

∴椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设的方程为，，，

设的方程为，，，

联立可得，

由可得，化简可得，①

，，

，

同理可得，

∵四边形为菱形，∴，∴，

又∵，∴，

∴，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，

∴关于原点对称，也关于原点对称，

∴且，

∴，，

∵四边形为菱形，可得，

即，即，

即，

可得，

化简可得，

∴菱形的周长为

，

当且仅当，即时等号成立，

此时，满足①，

∴菱形的周长的最大值为．