Question

【题目】已知.

（1）若，求在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若在上的最大值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），求导，再求得，得到切线方程为.再分别令，，得到在坐标轴上的截距，再代入三角形面积求解.

（2）.时，，故在上单调递增，易得在上的最大值，当时，令，得.再分， ，三种情况讨论求解.

（1）若，则，.所以，.

则切线方程为.令，得，令，得，则切线与两坐标轴围成的三角形面积为.

（2）.

（ⅰ）当时，，故在上单调递增，

所以在上的最大值为.所以.

（ⅱ）当时，令，得.

①当，即时，在上单调递增，

所以在上的最大值为，所以，舍去.

②当，即时，在上单调递减，

所以在上的最大值为，所以，不满足，舍去.

③当，即时，在上单调递减，在上单调递增.

由上面分析可知，当时，不可能是最大值.

而，，由，可得，

此时，，的最大值为.

所以，不符合，舍去.

综上可知，.