Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），详见解析

【解析】

（1）将方程消参得到，即为曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化关系，将化为，即为直线的直角坐标方程；

（2）联立消去y得，设点，，则由中点公式，得点M的坐标是，由韦达定理得到点M的坐标是(4，3)，联立，求得点N的坐标是，应用两点间距离公式和弦长公式求得与的值，比较可得结果.

（1）由得：

，

故曲线C的普通方程是；

由及公式得，

故直线的直角坐标方程是.

（2）因为直线过点且斜率为1，

所以根据点斜式得，直线的方程为，即.

曲线C：是以点为圆心，为半径的圆，

联立消去y得.

设点，，则由中点公式，得点M的坐标是.

由韦达定理，得，，所以，

所以点M的坐标是(4，3).

联立解得，故点N的坐标是.

所以由两点间的距离公式，得.

所以由弦长公式，得弦长.

因为，

所以.故.