题目内容
【题目】已知抛物线
过点
，抛物线
在
处的切线交
轴于点
，过点作直线
与抛物线交于不同的两点
、
，直线
、
、
分别与抛物线的准线交于点
、
、
，其中
为坐标原点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程，并求出点的坐标；
（Ⅱ）求证：为线段
的中点．
【答案】（Ⅰ）抛物线
的方程为
，准线方程为
，
；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）将点
的坐标代入抛物线的方程，求出
的值，可得出抛物线的方程，并可求出抛物线的准线方程，求出切线
的方程，进而可求得点
的坐标；
（Ⅱ）设直线
的方程为
，与抛物线的交点为
、
，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点
的坐标，并求出点
、
的坐标，进而求出线段
的中点坐标，由此可证得结论成立.
（Ⅰ）由抛物线
过点
，得
，
所以抛物线的方程为，准线方程为．
设切线的方程为
，
由
，得
，
则
，
从而的方程为
，得；
（Ⅱ）设直线的方程为，与抛物线的交点为、．
由
，得
，则
，
．
因为点的坐标为
，所以点的坐标为
，
直线
的方程为
，结合
，从而直线
，
可得点的坐标为
，同理点的坐标为
．
因为
，
故为线段的中点．
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