Question

【题目】已知是抛物线上三个不同的点，且.

（Ⅰ）若，求点的坐标；

（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先根据点在抛物线上求得的值，然后设出点的坐标，从而根据存在斜率的两直线垂直斜率乘积为，求得点的坐标；

（Ⅱ）首先设出点的坐标，然后利用斜率公式求得直线恒过的定点的坐标，由此写出直线的方程，并代入抛物线方程求得点的坐标，从而根据线段总被直线平分求得点的坐标.

解：（Ⅰ）在抛物线上，.

设，则由，得，

解得，即；

（Ⅱ）设，

则直线的方程为，

由，

得，

代入直线的方程，

得，

故直线恒过点，所以，

因此直线的方程为，

代入抛物线的方程，

得，，

所以，

故点的坐标为.

因为线段被直线平分，

所以

解得，

即点的坐标为.