Question

18．如图，甲、乙两位同学要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠CDB=90°求A，B两点间的距离．

Answer 1

分析 由∠BDC为直角，∠BCD=45°，得到三角形BCD为等腰直角三角形，可得出BD=CD=40，在三角形ACD中，利用三角形内角和定理求出∠ACD与∠CAD的度数，再由CD的长，利用正弦定理求出AD的长，在三角形ABD中，由AD，BD及cos∠ADB的值，利用余弦定理即可求出AB的长．

解答 解：∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
又CD=40，
∴BD=CD=40，
在△ACD中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°，∠ADC=30°，
∴∠CAD=45°，
又sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
由正弦定理得：AD=$\frac{40sin105°}{sin45°}$=20（$\sqrt{3}$+1），
在△ABD中，利用余弦定理得：AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos60°=400（$\sqrt{3}$+1）²+40²-800（$\sqrt{3}$+1）=2400，
解得：AB=20$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，等腰直角三角形的判定与性质，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．