Question

下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.

证明：的斜率是定值；

求、、、、所在直线的方程；

记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于，的方程，进而求出的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.

规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..

试题解析：（1）由已知得，抛物线焦点，抛物线方程为，直线的方程为于是，抛物线与直线在轴上方的交点的坐标满足则有

而直线的斜率为，则解得

又点在第一象限，则；

直线方程为；

由得则，

而到直线的距离为，

于是的面积，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.由于，

所以所有三角形面积和为.

考点：1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.