Question

11．如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC另外的交点分别为D，E，且DF⊥AC于F．
（Ⅰ）求证：DF是⊙O的切线；
（Ⅱ）若CD=3，$EA=\frac{7}{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AD，OD．证明OD∥DF，通过OD是半径，说明DF是⊙O的切线．
（Ⅱ）连DE，说明△DCF≌△DEF，以及切割线定理得：DF²=FE•FA，求解AB=AC．

解答 解：（Ⅰ）连结AD，OD．则AD⊥BC，又AB=AC，
∴D为BC的中点，而O为AB中点，∴OD∥AC
又DF⊥AC，∴OD∥DF，而OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（5分）
（Ⅱ）连DE，则∠CED=∠B=∠C，则△DCF≌△DEF，
∴CF=FE，设CF=FE=x，则DF²=9-x²，
由切割线定理得：DF²=FE•FA，
即$9-{x^2}=x（{x+\frac{7}{5}}）$，解得：${x_1}=\frac{9}{5}，{x_2}=-\frac{5}{2}$（舍），
∴AB=AC=5．（10分）

点评 本题考查切割线定理，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．