Question

13．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
（I） 求进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率；
（II）求进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率；
（III）用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲，乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B．由此能求出进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率．
（Ⅱ）$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$，由此利用对立事件概率计算公式能求出进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P（D）．
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），由此能求出ξ的分布列．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．
C=A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B．
进入商场的1位顾客购买甲，乙两种商品中的一种的概率：
P（C）=P（A•$\overline{B}$+$\overline{A}$•B）=P（A•$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$•B）=P（A）•P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）•P（B）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5…（4分）
（Ⅱ）$\overline{D}$=$\overline{A}$•$\overline{B}$，
P（$\overline{D}$）=P（$\overline{A}$•$\overline{B}$）=P（$\overline{A}$）•P（$\overline{B}$）=0.5×0.4=0.2，
进入商场的1位顾客至少购买甲，乙两种商品中的一种概率P（D）=1-P（$\overline{D}$）=0.8…（8分）
（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），
P（ξ=0）=0.2³=0.008，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$×0.8×0.2²=0.096，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$×0.8²×0.2=0.384，
P（ξ=3）=0.8³=0.512．
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	0.008	0.096	0.384	0.512

…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．