Question

15．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（2^x）＞2^x的解集为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，0）
• C． （0，∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＞x的解为x＜1，即可得到结论．

解答 解：设g（x）=f（x）-x，
则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）为减函数，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，
则不等式g（x）＞0等价为g（x）＞g（1），
则不等式的解为x＜1，
即f（x）＞x的解为x＜1，
∵f（2^x）＞2^x，
∴2^x＜1，解得：x＜0，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．