题目内容
1．已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m，n∈[0，1]，则f'（n）+f（m）的最大值是（ ）| A． | -9 | B． | -1 | C． | 1 | D． | -4 |
分析 令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最大值，利用导数求出f（m）的最大值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最大值．
解答 解：求导数可得f′（x）=-3x2+2ax
∵函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，
∴-12+4a=0，解得a=3
∴f′（x）=-3x2+6x
∴n∈[0，1]时，f′（n）=-3n2+6n，当n=1时，f′（n）最大，最大为3；
当m∈[0，1]时，f（m）=-m3+3m2-4
f′（m）=-3m2+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=1时，f（m）最大为-2
故f（m）+f′（n）的最大值为3-2=1．
故选：C．
点评 本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．
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