Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC的中点，求AD与平面PAC所成的角的正弦值的大小．

Answer 1

分析 以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出AD与平面PAC所成的角的正弦值．

解答 解：如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，
以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
设PA=a，由已知可得$A（0，0，0），B（-\frac{a}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$，
$C（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0），P（0，0，a）$，$D（-\frac{a}{4}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}，\frac{a}{2}）$
$\overrightarrow{AP}=（0，0，a）$，$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，0，0），
∵$\overrightarrow{AP}=（0，0，a），\overrightarrow{BC}=（\frac{a}{2}，0，0）$，∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}=0$，∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC．
∴平面PAC的一个法向量$\overrightarrow{BC}=（\frac{a}{2}，0，0）$，
设AD与平面PAC所成的角为α，∴$sinα=|{cos＜\overrightarrow{AD，}\overrightarrow{BC}＞}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．