已知函数f(x)=cosx•sinx.给出下列四个说法:①f=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,②f(x)在区间[-$\frac{π}{6}$.$\frac{π}{4}$]上单调递增,③将函数f(x)的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位可得到y=$\frac{1}{2}$cos2x的图象,④f(x)的图象关于点成中心对称．其中正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列四个说法：
①f（$\frac{23π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
②f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增；
③将函数f（x）的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位可得到y=$\frac{1}{2}$cos2x的图象；
④f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{4}$，0）成中心对称．
其中正确的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析利用二倍角的正弦公式化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答解：∵函数f（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，∴f（$\frac{23π}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin$\frac{23π}{3}$=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故①正确；
在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，故f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上单调递增，故②正确；
将函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x 的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位，得到y=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{3π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x的图象，故③正确；
令x=-$\frac{π}{4}$，可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，故f（x）的图象不关于点（-$\frac{π}{4}$，0）成中心对称，故④错误，
故选：B．

点评本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．