Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，点P在双曲线上，且$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FH}$则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 根据向量条件，求出P的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．

解答 解：由题意，设P（x，y），直线FH的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），
与渐近线y=-$\frac{b}{a}$x联立，可得H的坐标为（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FH}$，
∴（x+c，y）=3（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c，$\frac{ab}{c}$），
∴x=-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+2c，y=$\frac{3ab}{c}$，
代入双曲线方程可得，$\frac{（-\frac{3{a}^{2}}{c}+2c）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{9{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
化简可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$=13，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定P的坐标是关键．