Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，则数列{a_n}的通项公式a_n=（3n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 把已知等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{3}{2}$，又$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1+\frac{3}{2}（n-1）=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=（3n-1）•{2}^{n-1}$．
故答案为：（3n-1）•2^n-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．