题目内容
14．
如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．
分析 （1）取PD的中点E，连接EN、EA，推导出四边形ENMA为平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．
（2）推导出△PAD是等边三角形，MN=PE，由此能求出结果．
解答 证明：（1）取PD的中点E，连接EN、EA，
∵M，N分别是AB，PC的中点，ABCD是平行四边形，
∴EN$\underset{∥}{=}$AM，∴四边形ENMA为平行四边形
∴MN∥AE，
∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵E是PD中点，PA=AD=2a，
∴AE是∠PAD的平分线，
∵MN与PA所成的角为30°，MN∥AE，∴∠PAE=30°，
∴△PAD是等边三角形，
∴MN=PE=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a．
点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
5．函数f（x）=x•e-x在以下哪个区间是增函数（ ）
| A． | [-1，0] | B． | [2，8] | C． | [1，2] | D． | [0，2] |
2．当a＞0且a≠1时，指数函数f（x）=ax-1+3的图象一定经过（ ）
| A． | （4，1） | B． | （1，4） | C． | （1，3） | D． | （-1，3） |
9．设a，b为实数，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$成立的一个充分不必要条件是（ ）
| A． | b＜a＜0 | B． | a＜b | C． | b（a-b）＞0 | D． | a＞b |
19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，点P在双曲线上，且$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FH}$则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{13}}{2}$ | D． | $\sqrt{13}$ |
4．
如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若$\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{4}$，则椭圆C的离心率为（ ）
如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若$\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{4}$，则椭圆C的离心率为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ |