Question

10．已知函数g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函数y=g（x）的图象在x=$\frac{1}{e}$处的切线方程；
（Ⅱ）求y=g（x）的最大值；
（Ⅲ）令f（x）=ax²+bx-x•（g（x））（a，b∈R）．若a≥0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（$\frac{1}{e}$），求出f（$\frac{1}{e}$），由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由导数求y=g（x）的单调区间，进一步求得函数的极值，得到最大值；
（Ⅲ）求出函数的导函数，分a=0和a＞0及b的范围求出函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，$g'（\frac{1}{e}）=\frac{1+1}{{\frac{1}{e^2}}}=2{e^2}$，$g（\frac{1}{e}）=-e$，
∴切线方程为$y+e=2{e^2}（x-\frac{1}{e}）$，即2e²x-y-3e=0；
（Ⅱ）定义域x∈（0，+∞），
由$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$=0，得x=e，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
∴x=e是极大值点，极大值为$g（e）=\frac{1}{e}$．
∵在x∈（0，+∞）上，极值点唯一，
∴$g（e）=\frac{1}{e}$是最大值；
（ III）由f（x）=ax²+bx-lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=$\frac{{2a{x^2}+bx-1}}{x}$．
①当a=0时，f'（x）=$\frac{bx-1}{x}$．
若b≤0，当x＞0时，f'（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
若b＞0，当0＜x＜$\frac{1}{b}$时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞$\frac{1}{b}$时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{b}$），单调递增区间是（$\frac{1}{b}$）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得2ax²+bx-1=0．
由△=b²+8a＞0，得x₁=$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$，x₂=$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$．
显然，x₁＜0，x₂＞0．
当0＜x＜x₂时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞x₂时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，x₂），单调递增区间是（x₂，+∞）．
综上所述，
当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；
当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{b}$），单调递增区间是（$\frac{1}{b}$，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，x₂），单调递增区间是（x₂，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．