Question

1．设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表的统计表格：

i	1	2	3	4	5	合计
xi（百万元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百万元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百万元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$wiyi=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）2=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（wi-$\overline{w}$）2=10.14

其中${ω_i}=x_i^3（i=1，2，3，4，5）$．
（1）在坐标系中，作出销售额y关于广告费x的回归方程的散点图，根据散点图指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一个适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程（不需要说明理由）；
（2）已知这种产品的纯收益z（百万元）与x，y有如下关系：x=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），试写出z=f（x）的函数关系式，试估计：当明星代言费x在什么范围内取值时，纯收益z随明星代言费z的增加而增加？（以上计算过程中的数据统一保留到小数点第2位）
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计值为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{u}•\overline{v}}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，绘制散点图，根据散点图可知，y=c+dx³适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程；
（2）令ω=x³，则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，根据最小二乘法求得系数，求得回归方程，求得z的函数解析式，求导，利用z′≥0，求得z的单调递增区间，即可求得纯收益z随明星代言费z的增加而增加的区间．

解答 解：（1）散点图如图：

根据散点图可知，y=c+dx³适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程．
（2）令ω=x³，则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，
所以$\widehat{d}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{ω}_{i}•{y}_{i}-5\overline{ω}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=1.21，$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\overline{d}$•$\overline{ω}$=1.15，
所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．
z=0.2y-2.904x=0.2（1.15+1.21x³）-2.904x=0.242x³-2.904x+0.23，
令z'=0.726x²-2.904≥0，由x∈（0，300]，解得：200≤x≤300．
估计：当明星代言费200≤x≤300百万元时，纯收益z随明星代言费x的增加而增加．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查利用最小二乘法求回归直线方程，利用导数求函数单调性的方法，考查计算能力，属于中档题．