Question

已知{a_n}是首项为a₁、公比q（q≠1）为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄，设b_n=q+S_n．
（1）求q的值；
（2）若数列{b_n}是等比数列，求出a₁的值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意5S₂=4S₄，结合求和公式可得q的方程，解方程可得q；（2）把S_n=2a₁-a₁（

1

2

）^n-1代入b_n=q+S_n=

1

2

+2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，由等比数列可得a₁的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）由题意知5S₂=4S₄，S₂=

a1(1-q2)

1-q

，S₄=

a1(1-q4)

1-q

，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴），又q＞0，∴q=

1

2

．
（2）∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

=2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，
∴b_n=q+S_n=

1

2

+2a₁-a₁（

1

2

）^n-1，
若{b_n}是等比数列，则

1

2

+2a₁=0，
解得a₁=-

1

4

．

点评：本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题．