Question

6．（1）已知a，b是正实数，求证：$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）已知：A，B都是锐角，且A+B≠90°，（1+tanA）（1+tanB）=2，求证：A+B=45°．

Answer 1

分析 （1）去分母，因式分解，得出使不等式成立的充分条件即可；
（2）化简式子，利用和角的正切公式得出结论．

解答 证明：（1）要证：$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
只需证：a$\sqrt{a}$+b$\sqrt{b}$≥（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）$\sqrt{a}$$\sqrt{b}$，
即证：a$\sqrt{a}$+b$\sqrt{b}$≥a$\sqrt{b}$+b$\sqrt{a}$，
只需证：a（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）+b（$\sqrt{b}$-$\sqrt{a}$）≥0，
即证：（a-b）（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）≥0，
即证：（$\sqrt{a}$$-\sqrt{b}$）²（$\sqrt{a}+\sqrt{b}$）≥0，
显然上式恒成立，
故$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}+\sqrt{b}$．
（2）∵（1+tanA）（1+tanB）=2，
即1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=1，
又A，B都是锐角，A+B≠90°，
∴A+B=45°．

点评 本题考查了证明方法，属于中档题．