Question

19．已知$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，函数$f（x）=\vec a•\vec b-1$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（1）当$θ=-\frac{π}{6}$时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间$[-1，\sqrt{3}]$上是单调的．

Answer 1

分析 （1）根据向量的运算求解f（x）的解析式，化简，将$θ=-\frac{π}{6}$带入结合二次函数的性质可得答案；
（2）根据题意，在区间$[-1，\sqrt{3}]$上要么单调递增，要么单调递减，结合三角函数的性质可得答案；

解答 解：$\vec a=（{{x^2}，2x}）$，$\vec b=（{1，tanθ}）$，$x∈[-1，\sqrt{3}]$，其中$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
函数$f（x）=\vec a•\vec b-1$，
可得：f（x）=x²+2xtanθ-1．
（1）当$θ=-\frac{π}{6}$时，函数f（x）=${x}^{2}+2x•tan（-\frac{π}{6}）-1={x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-1$．
其对称轴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，开口向上．
∴当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f（x）取得最小值为：$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}-1$=$-\frac{4}{3}$．
当x=-1时，f（x）取得最大值为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴$f{（x）_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$f{（x）_{min}}=-\frac{4}{3}$；
（2）∵f（x）=x²+2xtanθ-1．
其对称轴x=-tanθ，
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是单调递增，
则-tanθ≥$\sqrt{3}$．即tanθ$≤-\sqrt{3}$．
由正切函数性质可知：θ∈（$-\frac{π}{2}+kπ$，$-\frac{π}{3}+kπ$]．
若$x∈[-1，\sqrt{3}]$是单调递减，
则-tanθ≤-1．即tanθ≥1，
由正切函数性质可知：θ∈[$\frac{π}{4}+kπ，\frac{π}{2}+kπ$）
由∵$θ∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
∴当θ∈$（{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}}]或θ∈{[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）}$y=f（x）在区间$[-1，\sqrt{3}]$上是单调的．

点评 本题考查了向量的乘积运算和二次函数的性质的运用，单调性的讨论！属于中档题．