题目内容
13．
对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）=a|x-x1|+b|x-x2|的图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），则实数a、b应满足的条件是（ ）| A． | a+b=0且a-b＞0 | B． | a+b=0且a-b＜0 | C． | a-b=0且a+b＞0 | D． | a-b=0且a+b＜0． |
分析 将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．
解答 解：当x≤x1时，f（x）=-a（x-x1）-b（x-x2）=-（a+b）x+（ax1+bx2） 由图可知$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0，①}\\{a{x}_{1}+b{x}_{2}＜0，②}\end{array}\right.$
当x1＜0＜x2时，f（x）=a（x-x1）-b（x-x2）=（a-b）x-ax1+bx2 由图可知$\left\{\begin{array}{l}{a-b＞0，①′}\\{-a{x}_{1}+b{x}_{2}=0，②′}\end{array}\right.$
当x≥x2时，f（x）=a（x-x1）+b（x-x2）=（a+b）x-（ax1+bx2） 由图又可得出①②两式．
由 ①，①′两式可得a=-b＞0，同时使得②，②′成立．
故实数a、b应满足的条件是：a＞0且a+b=0 （或a=-b＞0），
故选：A．
点评 本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力．
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