题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n
（1）求a1，a2，a3，a4
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
（1）求a1，a2，a3，a4
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
考点：数学归纳法
专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，4，能够求出a1，a2，a3，a4．
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：an=2n-1，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：an=2n-1，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
解答：
解：（1）因为Sn=2an-n，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：ak+1=2(2k-1)+1
即：ak+1=2k+1-1
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：ak+1=2(2k-1)+1
即：ak+1=2k+1-1
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．
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