Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，斜率为1的直线l交圆C与A、B两点．
（1）化圆C的方程为标准方程，并指出圆心和半径；
（2）是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（3）当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）利用配方法，化圆C的方程为标准方程，可得圆心与半径；
（2）假设所求直线存在，将条件以AB为直径的圆经过原点O，转化为OA⊥OB．通过联立方程可求；
（3）求出△CAB面积，即可求出最大值．

解答： 解：（1）圆C化成标准方程为：（x-1）²+（y+2）²=3²，
∴圆心为C（1，-2），半径r=3．                 …（2分）
（2）设以线段AB为直径的圆为M，且圆心M的坐标为（a，b）．
由于CM⊥l，∴k_CM•k_l=-1，即

b+2

a-1

×1=-1，
∴a+b+1=0，①…（3分）
由于直线l过点M（a，b），∴l的方程可写为y-b=x-a，即x-y+b-a=0，
因此|CM|=

|b-a+3|

2

．   …（4分）
又∵以AB为直径的圆M过原点，∴|MA|=|MB|=|OM|． …（5分）
而|MB|2=|CB|2-|CM|2=9-(

|b-a+3|

2

)2，|OM|²=a²+b²
所以9-(

|b-a+3|

2

)2=a2+b2②…（6分）
由①②得：a=

3

2

或a=-1．
当a=

3

2

时，b=-

5

2

，此时直线l的方程为x-y-4=0；
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0．
∴所求斜率为1的直线l是存在的，其方程为x-y-4=0或x-y+1=0．…（8分）
（3）设AB的中点为M，则|AB|=2|MB|=2

9-|CM|2

，|CM|=

|2-2a|

2

，
∴S_△CAB=

1

2

|AB||CM|=

-2[2(a-1)2- 9 2 ]2+ 81 4

≤

9

2

，
当

a= 5 2 b=- 7 2

或

a=- 1 2 b=- 1 2

时等号成立，此时直线L的方程为x-y=0或x-y-6=0，满足题意，△CAB面积的最大值为

9

2

．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．