Question

设f（x）=cosx+

x2

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-1．
（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ）若a∈R，证明：当a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=cosx+

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-1，（x≥0），则f′（x）=x-sinx，设h（x）=x-sinx，则h′（x）=1-cosx，得f′（x）为增函数，从而f（x）在x≥0时为增函数，得f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥-

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+1，得

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+x+1≥sinx-cosx+2，设G（x）=e^x-

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-x-1，则G′（x）=e^x-x-1，设g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，从而G（x）为增函数，进而G（x）≥G（0）=0，即e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．又x≥0，a≥1时，e^ax≥e^x，从而a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．

解答： （Ⅰ）证明：∵f（x）=cosx+

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-1，（x≥0），
则f′（x）=x-sinx，
设h（x）=x-sinx，则h′（x）=1-cosx，
当x≥0时，h′（x）=1-cosx≥0，即f′（x）为增函数，
所以f′（x）≥f′（0）=0，
即f（x）在x≥0时为增函数，
所以f（x）≥f（0）=0；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥-

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+1，
∴

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+x+1≥sinx-cosx+2，
设G（x）=e^x-

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-x-1，则G′（x）=e^x-x-1，
设g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1，
当x≥0时，g′（x）=e^x-1≥0，
∴g（x）=e^x-x-1为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴G（x）为增函数，
∴G（x）≥G（0）=0，
∴e^x≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．
又x≥0，a≥1时，e^ax≥e^x，
∴a≥1时，e^ax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．