Question

已知函数f（x）=a^|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为f（x）为偶函数，得到对任意的∈R，都有f（-x）=f（x），求出b；
（2）记h（x）=|x+b|=

x+b，x≥-b -x-b，x＜-b

，讨论a值得到b的范围．

解答： 解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的∈R，都有f（-x）=f（x），
即a^|x+b|=a^|-x+b|，所以|x+b|=|-x+b|
得 b=0．

（2）记h（x）=|x+b|=

x+b，x≥-b -x-b，x＜-b

，
①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，
∴-b≤2，b≥-2
②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数但h（x）在区间[-b，+∞）上是增函数，故不可能
∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥-2

点评：本题考查了函数奇偶性的运用以及讨论思想的运用，属于中档题．