Question

13．已知函数f（x）=x²-5x+7．
（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设出切点（x₀，x₀²-5x₀+7），求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（1，2），解方程可得切点的横坐标，进而得到所求切线的方程．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-5x+7的导数为f′（x）=2x-5，
∴在点（2，f（2））处的切线斜率为f′（2）=-1，
又f（2）=1，
∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-1=-1（x-2），
即x+y-3=0；
（2）设切点坐标为（x₀，x₀²-5x₀+7），
∵f′（x₀）=2x₀-5，
∴切线方程为y-2=（2x₀-5）（x-1），
又切线过点（x₀，x₀²-5x₀+7），
∴x₀²-5x₀+7-2=（2x₀-5）（x₀-1），
整理得x₀²-2x₀=0，解得x₀=2或x₀=0，
∴经过A（1，2）的曲线f（x）的切线方程为x+y-3=0或5x+y-7=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，注意在某点处和过某点的切线方程，属于中档题和易错题．