Question

3．在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式及使S_n取的最大值时的n值．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的性质联立方程组求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）先推导出数列{b_n}是以b₁=4为首项，-1为公差的等差数列．求出其前n项和，利用配方法能求出数列{S_n}的通项公式及使S_n取的最大值时的n值．

解答 解　（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25．
又a_n＞0，∴a₃+a₅=5．①
又a₃与a₅的等比中项为2，
∴a₃a₅=4．②，
而q∈（0，1），∴a₃＞a₅．
∴由①与②解得a₃=4，a₅=1．
∴q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}=\frac{1}{4}$，q=$\frac{1}{2}$．∴a₁=16．
∴a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^5-n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，b_n+1-b_n=-1，b₁=4．
∴数列{b_n}是以b₁=4为首项，-1为公差的等差数列．
∴S_n=$4n+\frac{n（n-1）}{2}×（-1）$=-$\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{9n}{2}$
即S_n=$-\frac{1}{2}{（{n-\frac{9}{2}}）^2}+\frac{81}{8}$．
则当n=4或5时，S_n有最大值是10．
所以使S_n取的最大值时的n值为4或5．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，考查前n项和取最大值时项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．