Question

19．如果函数f（x）对其定义域内的两个实数x₁、x₂，都满足不等式$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，则称函数f（x）在其定义域内具有性质M．给出下列函数：①$y=\sqrt{x}$；②y=x²；③y=2^x；④y=log₂x．其中具有性质M的是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由不等式$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$可知：函数为下凸函数，画出图象即可判断出．

解答 解：函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x₁，x₂都满足不等式$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，（为下凸函数）．
由函数的图象可知：②y=x²；③y=2^x．其中具有性质M．
故选B．

点评 本题考查了下凸函数的性质，考查了数形结合思想方法与推理能力，属于中档题．