Question

5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是的AA₁中点，P为地面ABCD内一动点，设PD₁、PE与地面ABCD所成的角分别为θ₁、θ₂（θ₁、θ₂均不为0），若θ₁=θ₂，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（　　）

• A． 直线
• B． 圆
• C． 椭圆
• D． 抛物线

Answer 1

分析 通过建系如图，利用cosθ₁=cosθ₂，结合平面向量数量积的运算计算即得结论．

解答 解：建系如图，设正方体的边长为1，则E（2，0，1），D₁（0，0，2），
设P（x，y，0），则$\overrightarrow{PE}$=（2-x，-y，1），$\overrightarrow{P{D}_{1}}$=（-x，-y，2），
∵θ₁=θ₂，$\overrightarrow{z}$=（0，0，1），
∴cosθ₁=cosθ₂，即$\frac{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{z}}{|\overrightarrow{PE}|•|\overrightarrow{z}|}$=$\frac{\overrightarrow{P{D}_{1}}•\overrightarrow{z}}{|\overrightarrow{P{D}_{1}}|•|\overrightarrow{z}|}$，
代入数据，得：$\frac{1}{\sqrt{（2-x）^{2}+{y}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+4}}$，
整理得：x²+y²-$\frac{16}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，
变形，得：$（x-\frac{8}{3}）^{2}$+y²=$\frac{16}{9}$，
即动点P的轨迹为圆的一部分，
故选：B．

点评 本题考查平面与圆柱面的截线，建立空间直角坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．