题目内容
15．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．
分析 （I）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐标，只需证明$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=0$即可；
（II）显然平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），根据sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{m}$＞|求出sinθ的最大值，利用同角三角函数的关系求出tanθ．
解答 
证明：（I）∵AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，∴AB2+AC2=BC2，
∴AB⊥AC，即AB、AC、AA1两两相互垂直．
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A1（0，0，2），B1（2，0，2），M（0，2，1），N（1，1，0）．
∵$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$，∴P（2λ，0，2），∴$\overrightarrow{PN}$=（1-2λ，1，-2）.$\overrightarrow{AM}=（0，2，1）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}=（1-2λ）×0+1×2+（{-2}）×1=0$．
∴无论λ取何值，AM⊥PN．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow m$=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．
∴$sinθ=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{PN}＞}|$=$\frac{|0+0-2|}{{\sqrt{{{（1-2λ）}^2}+1+4}}}=\frac{2}{{\sqrt{{{（2λ-1）}^2}+5}}}$．
∴当λ=$\frac{1}{2}$时，θ取得最大值，
此时sinθ=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，cosθ=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，tanθ=2．
点评 本题考查了空间角的计算，空间中垂直关系的判断，属于中档题．
星级口算天天练系列答案
如图，△ABC和△DEF都是圆内接正三角形，且BC∥EF，将一粒芝麻随机地扔到该圆内，用A表示事件“芝麻落在△ABC内”，B表示事件“芝麻落在△DEF内”，则P（A∩B）等于（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{3\sqrt{3}}{4π}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2π}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面梯形ABCD中，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2BC=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{PM}$=m$\overrightarrow{MC}$，且m＞0．
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，$∠CAB=\frac{π}{2}$．| A． | 9：1 | B． | 4：1 | C． | 27：1 | D． | 8：1 |
| A． | $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$ | B． | $\frac{4π}{3}$ | C． | $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}π}}{2}$ |
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是的AA1中点，P为地面ABCD内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1=θ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）