Question

10．将函数y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点（$\frac{π}{4}$，1），则φ的最小值为$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 根据辅助角公式，化简函数得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），从而得出平移后的图象对应的函数为y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）．由平移后的图象经过点（$\frac{π}{4}$，1），根据正弦函数的图象与性质即可得解．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
将函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到y=2sin[（x-φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）的图象．
再向上平移1个单位后，得到y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）+1的图象．
∵所得图象经过点（$\frac{π}{4}$，1），
∴2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$-φ）+1=1，可得：2sin（$\frac{7π}{12}$-φ）=0，
∴$\frac{7π}{12}$-φ=kπ，（k∈Z），
∴得到φ的最小正值为$\frac{7π}{12}$．
故答案为：$\frac{7π}{12}$．

点评 本题着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等知识，属于中档题．