Question

已知数列{a_n}满足S_n=

1

2

（a_n+1），
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并进行证明．

Answer 1

考点：数列递推式,归纳推理

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）取n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，然后仔细观察，总结规律，猜测a_n的值．
（2）由（1）猜想：a_n=（-1）^n-1，证明{a_n}是以1为首项，-1为公比的等比数列即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

（a_n+1），
令n=1，则a₁=S₁=

1

2

（a₁+1），解得a₁=1----1
令n=2，则S₂=

1

2

（a₂+1），解得a₂=-1-------1
同理a₃=1，-----1
a₄=-1-------1
（2）由（1）猜想：a_n=（-1）^n-1，下证明之．---------1
∵S_n=

1

2

（a_n+1），①
n≥2，S_n-1=

1

2

（a_n-1+1），②----------1
①-②得a_n=-a_n-1，n≥2，
又a₁=1-----------1
∴{a_n}是以1为首项，-1为公比的等比数列，
∴a_n=（-1）^n-1．---------1

点评：本题考查数列的递推式，考查数列的通项，属于中档题．