Question

7．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c为常数），对任意α∈R、β∈R，恒有f（sinα）≥0，且f（2+cosβ）≤0
（1）求f（1）的值
（2）求证：c≥3
（3）若f（sinα）的最大值为8，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由sinα，sinβ的有界性以及f（sinα）≥0，f（2+sinβ）≤0；可以求出f（1）的值；
（2）由二次函数f（x）的对称轴以及f（1）的值，可以证出c≥3；
（3）由题意，判定f（-1）是f（x）在[-1，1]的最大值；又由（1）知f（1）的值；由此求出b、c的值，即得f（x）的表达式．

解答 解：（1）∵-1≤sinα≤1，1≤2+sinβ≤3，
且对任意α，β∈R都有f（sinα）≥0，f（2+sinβ）≤0；
∴对x∈[-1，1]时，f（x）≥0，对x∈[1，3]时，f（x）≤0；
∴f（1）=0．                                                      
证明：（2）∵对x∈[-1，1]时，f（x）≥0，对x∈[1，3]时，f（x）≤0，
∴二次函数f（x）的对称轴满足：x=-$\frac{b}{2}$，
∴b≤-4；
由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0，
∴c=-b-1≥4-1=3．
解：（3）∵f（sinα）的最大值为8，
∴f（x）在[-1，1]的最大值为8；
又∵二次函数f（x）图象开口向上且对称轴：x=-$\frac{b}{2}$，
∴f（x）在[-1，1]上单调递减，
∴f（-1）=8，
∴1-b+c=8①；
又由（1）知，f（1）=0，
∴1+b+c=0②；
联立①②，解得b=-4，c=3，
∴f（x）的表达式为f（x）=x²-4x+3

点评 本题结合三角函数的知识考查了二次函数的性质与应用问题，是综合性题目．