Question

17．函数y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据对数函数的性质求出恒过定点P的坐标，代入幂函数f（x）=x^b，求出b的值，即可求出f（9）．

解答 解：根据对数函数的性质恒过定点：
可得2x-3=1，解得x=2，
将x=2带入y=log_a（2x-3）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则恒过定点P（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
设幂函数f（x）=x^b，将P（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入：
得：$\frac{\sqrt{2}}{2}={2}^{b}$，
解得：b=$-\frac{1}{2}$．
那么：幂函数f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$，
所以f（9）=${9}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了对数函数恒过定点坐标的求法以及幂函数的运算．属于基础题．