Question

10．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a=2，C=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
（I）求sinB，sinA的值
（II）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数基本关系式直接求解sinB，利用三角形的内角和以及两角和的正弦函数求解sinA的值
（II）利用正弦定理，求出c，然后求解三角形的面积．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）在△ABC中，因为$cosB=\frac{3}{5}，B$为锐角，所以$sinB=\frac{4}{5}$；  （3分）
$sinA=sin（\;π-B-C\;）=sin（{\;\frac{3π}{4}-B\;}）=sin\frac{3π}{4}cosB-cos\frac{3π}{4}sinB=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，（6分）
或$sinA=sin（\;π-B-C\;）=sin（{\;B\;+C}）=sinBcosC-cosBsinC=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$
（II）在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$c=\frac{10}{7}$，（9分）
∴$S=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×2×\frac{10}{7}×\frac{4}{5}=\frac{8}{7}$．（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．