Question

求证：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，n∈N^*．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-2（

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

8

+…+

1

2n

），由此能证明1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，n∈N^*．

解答： 证明：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-2（

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

8

+…+

1

2n

）
=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n-1

+

1

2n

-（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

+

1

n

） 
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．
∴1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，n∈N^*．

点评：本题考查数列前n项和与差的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．