Question

已知点A（-2，0），B（2，0），C（0，2），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

• A、（0，2-

  2

  ）
• B、(2-

  2

  ，1)
• C、(2-

  2

  ，

  2

  3

  ]
• D、[

  2

  3

  ，1)

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=

2

3

；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜1；③若点M在点A的左侧，求得b＞2-

2

，综合起来可得结论．

解答： 解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=

1

2

•AB•OC=4，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），
由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为 N，则由

y=ax+b x+y=2

，可得点N的坐标为（

2-b

a+1

，

2a+b

a+1

），
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则-

b

a

=-2，且

2a+b

a+1

=1，解得a=

1

3

，b=

2

3

，
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于2，即

1

2

•MB•y_N=2，
即

1

2

•（2+

b

a

）•

2a+b

a+1

=2，解得a=

b2

1-b

＞0，故b＜1，
③若点M在点A的左侧，则-

b

a

＜-2，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由

y=ax+b x-y=-2

求得点P的坐标为（

2-b

a-1

，

2a-b

a-1

），
此时，NP=

( 2-b a-1 - 2-b a+1 )2+( 2a-b a-1 - 2a+b a+1 )2

=

[ 2(2-b) (a-1)(a+1) ]2+[ 2a(2-b) (a-1)(a+1) ]2

=

4(1+a2)(2-b)2 (a-1)2(a+1)2

=

2|2-b|

|a+1|•|a-1|

1+a2

，
此时，点C（0，2）到直线y=ax+b的距离等于

|b-2|

1+a2

，
由题意可得，三角形CPN的面积等于2，即

1

2

•

2|2-b|

|a+1|•|a-1|

1+a2

•

|b-2|

1+a2

=2，
化简可得（2-b）²=2|a²-1|．
由于此时 0＜b＜a＜1，
∴（2-b）²=2|a²-1|=2-2a² ．
两边开方可得2-b=

2-2a2

＜

2

，则2-b＜

2

，即b＞2-

2

，
综合以上可得，b的取值范围是(2-

2

，1)．
故选：B

点评：本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．