Question

1．已知三角形ABC三边分别是a，b，c．边AB上的高为CD，若CD=$\frac{1}{2}$c，则$\frac{2ab}{{（a+b）}^{2}}$的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根据题意，由正弦定理可得c²=2absinC，结合余弦定理可得2absinC=a²+b²-2absinC，变形可得2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，由三角函数恒等变形可得1≤sinC+cosC≤$\sqrt{2}$；则可得$\frac{2ab}{（a+b）^{2}}$=$\frac{1}{sinC+cosC+1}$，结合sinC+cosC的范围，可得$\frac{1}{sinC+cosC+1}$的范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•c•c=$\frac{1}{4}$c²，变形可得c²=2absinC，
而c²=a²+b²-2absinC，
则有2absinC=a²+b²-2absinC，变形可得2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，
即sinC+cosC≥1；
而sinC+cosC=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，即1≤sinC+cosC≤$\sqrt{2}$；
$\frac{2ab}{（a+b）^{2}}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}$=$\frac{2ab}{2ab（sinC+cosC）+2ab}$=$\frac{1}{sinC+cosC+1}$，
而1≤sinC+cosC≤$\sqrt{2}$，
2≤sinC+cosC+1≤$\sqrt{2}$+1，
$\sqrt{2}$-1≤$\frac{1}{sinC+cosC+1}$≤$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{2}$-1≤$\frac{2ab}{{（a+b）}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\sqrt{2}$-1，$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查三角函数的最值，关键是利用正弦、余弦定理进行化简、变形，找到$\frac{2ab}{{（a+b）}^{2}}$与sinC+cosC的关系．