题目内容
已知函数函数f（x）=x+
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．
| 1 |
| x |
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，求a的取值范围．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，解不等式即可求a的取值范围．
（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（3）若f（a）＞2，解不等式即可求a的取值范围．
解答：
解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x-1=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数 （ （4分） ）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），不妨设x1＜x2，则有
f（x1）-f（x2）=x1-x2
+（
-
）=（x1-x2）（1+
）=
，
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2+1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）若f（a）＞2即a+
＞2，显然a＞0，
原式可化为：a2-2a+1=（a-1）2＞0解得a＞0且a≠1，
f（-x）=-x+x-1=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数 （ （4分） ）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），不妨设x1＜x2，则有
f（x1）-f（x2）=x1-x2
+（
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x1x2 |
| (x1-x2)(x1x2+1) |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2+1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）若f（a）＞2即a+
| 1 |
| a |
原式可化为：a2-2a+1=（a-1）2＞0解得a＞0且a≠1，
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
练习册系列答案
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