Question

2．已知函数$f（x）={log_3}（\frac{1}{x}+a）（a＞0）$，对任意的$t∈[\frac{1}{4}，1]$，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为[$\frac{4}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 由对数的性质，结合复合函数的性质可得f（t）取得最大值，f（t+1）取得最小值．根据对数运算转化为二次函数在$t∈[\frac{1}{4}，1]$恒成立问题，即可求出a的范围．

解答 解：函数$f（x）={log_3}（\frac{1}{x}+a）（a＞0）$，令u=$\frac{1}{x}+a$，
由对数函数的性质可知，f（u）=log₃u在定义域内单调递增．
函数u=$\frac{1}{x}+a$，在[t，t+1]上单调递减．
根据复合函数的性质，可得f（t）取得最大值，f（t+1）取得最小值．
∴f（t）-f（t+1）≤1，即$lo{g}_{3}（\frac{1}{t}+a）-lo{g}_{3}（\frac{1}{t+1}+a）≤1$对任意的$t∈[\frac{1}{4}，1]$恒成立．
可得：2at²+（2a+2）t-1≥0对任意的$t∈[\frac{1}{4}，1]$恒成立．
其对称轴t=-$\frac{a+2}{2}$=$-1-\frac{a}{2}$，a＞0，
∴二次函数在$t∈[\frac{1}{4}，1]$单调递增，
当t=$\frac{1}{4}$时，可得最小值为2a×$\frac{1}{16}$+（2a+2）×$\frac{1}{4}$-1≥0．
解得：a≥$\frac{4}{5}$．
则a的取值范围为[$\frac{4}{5}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{4}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了考查了对数的性质，结合复合函数的性质，以及二次函数在$t∈[\frac{1}{4}，1]$恒成立问题讨论问题，属于中档题．