已知曲线C1的方程为x2+y2=1.过平面上一点P1作C1的两条切线.切点分别为A1.B1.且满足∠A1P1B1=$\frac{π}{3}$.记P1的轨迹为C2.过一点P2作C2的两条切线.切点分别为A2.B2满足∠A2P2B2=$\frac{π}{3}$.记P2的轨迹为C3.按上述规律一直进行下去-.记an=|AnAn+1|max且Sn为数列{$\frac{1}{{a} {n}}$}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．已知曲线C₁的方程为x²+y²=1，过平面上一点P₁作C₁的两条切线，切点分别为A₁，B₁，且满足∠A₁P₁B₁=$\frac{π}{3}$，记P₁的轨迹为C₂，过一点P₂作C₂的两条切线，切点分别为A₂，B₂满足∠A₂P₂B₂=$\frac{π}{3}$，记P₂的轨迹为C₃，按上述规律一直进行下去…，记a_n=|A_nA_n+1|_max且S_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和，则满足|S_n-$\frac{2}{3}$|＜$\frac{1}{100}$的最小的n是7．

分析设P₁（x，y），则|OP₁|=2|OA₁|=2，可得方程C₂：x²+y²=4．同理可得P₂的方程C₃为：x²+y²=16．设A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα），可得|A₁A₂|=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}$≤3=1+2，同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，代入|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{{3•2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，解得n．

解答解：设P₁（x，y），则|OP₁|=2|OA₁|=2，
可得方程C₂：x²+y²=4．
同理可得P₂的方程C₃为：x²+y²=16．
设A₁（cosθ，sinθ），A₂（2cosα，2sinα）
|A₁A₂|=$\sqrt{（cosθ-2cosα）^{2}+（sinθ-2sinα）^{2}}$=$\sqrt{5-4cos（α-θ）}$≤3=1+2，
同理可得：a_n=|A_nA_n+1|_max=2^n-1+2ⁿ．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+{2}^{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$．
数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}$×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
则满足|S_n-$\frac{2}{3}$|=$\frac{1}{{3•2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{100}$，解得n≥7．
故答案为：7．

点评本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数形结合方法、数列递推关系、两点之间的距离公式、直线与圆相切的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

书立方期末大考卷系列答案

中招试题详解暨中招复习指导系列答案

小学升学多轮夯基总复习系列答案

金钥匙期末冲刺100分系列答案

名师指导期末冲刺卷系列答案

初中英语听力训练苏州大学出版社系列答案

教与学中考必备系列答案

培优好卷系列答案

期末在线系列答案

全程评价与自测系列答案

相关题目

19．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）当a＜0时，证明函数f（x）在（0，+∞）是单调函数；
（2）当a＜e时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值是$\frac{4}{3}$，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-$\frac{a}{x}$，A，B是函数g（x）图象上任意不同的两点，记线段AB的中点的横坐标是x₀，证明直线AB的斜率k＞g'（x₀）．

某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为41πcm²．

20．已知函数f（x）=x，g（x）=lnx
（1）若函数F（x）=g（x）+af（x）有两个零点时，实数a的取值范围为A，方程$g（x）-{[{1-f（x）}]^2}+（1-f（x））=\frac{b}{x}$有实根时，实数b的取值集合为B，求A∩B．
（2）若函数G（x）=af（x）²-（a+2）f（x）+g（x），其中a∈R．，当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求实数a的取值范围；
（3）已知?x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，若G（x₁）+2x₁＜G（x₂）+2x₂恒成立，求实数a的取值范围．
（4）函数$h（x）=\frac{g（x）}{f（x）}-m，（m∈R）$，若h（x）的两个零点分别为x₁、x₂，求证${x_1}{x_2}＞{e^2}$．

7．已知圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数，0≤θ＜2π）．
（1）求圆心和半径；
（2）若圆O上点M对应的参数θ=$\frac{5π}{3}$，求点M的坐标．

17．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是8月4日．．

4．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生的回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考得好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
成绩出来后发现，四名学生中有且只有两人说对了，他们是（　　）

如图，一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为5，底边长为8的等腰三角形，俯视图为边长为8的正方形，则该几何体的体积为（　　）

2．已知函数$f（x）={log_3}（\frac{1}{x}+a）（a＞0）$，对任意的$t∈[\frac{1}{4}，1]$，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，则a的取值范围为[$\frac{4}{5}$，+∞）．