Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
下列说法正确的有：

 

．（写出所有正确说法的序号）
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
③函数f（x）=

x

x2+x+1

不存在承托函数；
④函数f（x）=-

1

5x2-4x+11

，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点P（1，-

1

12

）处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数；
②令h（x）=e^x-ex，利用导数研究其单调性极值与最值即可判断出；
③函数f（x）=

x

x2+x+1

，当x=0时，f（0）=0；当x＞0时，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；同理当x＜0时，0＞f（x）≥-1．可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，即可判断出；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，可得g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2时，f（10）＜0＜g（10），即可判断出．

解答： 解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②令h（x）=e^x-ex，则h′（x）=e^x-e，令h′（x）＞0，解得x＞1，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得x＜1，此时函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，∴h（x）≥h（1）=0，因此f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，故g（x）为函数f（x）的一个承托函数，正确．
③函数f（x）=

x

x2+x+1

，当x=0时，f（0）=0；当x＞0时，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；当x＜0时，0＞f（x）=

1

-(-x+ 1 -x )+1

≥-1．
综上可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，取g（x）=-2，即为函数f（x）的一个承托函数，因此不正确；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，则g（x）+

1

12

=

1

24

(x-1)，化为g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2时，f（10）＜0＜g（10），因此g（x）不为函数f（x）的一个承托函数．
综上可得：只有①②正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、新定义“承托函数”，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．