Question

设函数f（x）=|x+2|+|2x-1|
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥mx-

m

2

+

5

2

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由绝对值的含义，讨论当x≤-2时，当-2＜x＜

1

2

时，当x≥

1

2

时，去掉绝对值，由一次函数的单调性可得值域，进而得到最小值；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，则g（x）的图象恒过定点（

1

2

，

5

2

），画出y=f（x）和y=g（x）的图象，通过图象观察，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x≤-2时，f（x）=-x-2+1-2x=-3x-1，此时f（x）≥5；
当-2＜x＜

1

2

时，f（x）=x+2+1-2x=3-x，此时

5

2

＜f（x）＜5；
当x≥

1

2

时，f（x）=x+2+2x-1=3x+1，此时f（x）≥

5

2

．
则有f（x）的值域为[

5

2

，+∞），
即有x=

1

2

时，f（x）取得最小值

5

2

；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，则g（x）的图象恒过定点（

1

2

，

5

2

），
画出y=f（x）和y=g（x）的图象，
由图象可得m的取值范围为[-1，3]．

点评：本题考查绝对值的定义，考查一次函数的单调性的运用：求值域，考查数形结合的思想方法，考查直线恒过定点以及不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．