Question

已知椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为其上、下两个焦点，F₁（0，1），F₂（0，-1），过F₂斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且|AB|=

24

7

．
（1）求椭圆的方程；
（2）C、D为椭圆的上、下顶点，是否存在直线y=m，使得该直线上的任意点P（x₀，m）满足PC、PD与椭圆的另一交点M、N，MN的连线恒过F₂．

Answer 1

考点：椭圆的应用,椭圆的简单性质

专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意做出图象，借助图象可知，a²=b²+1，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及两点间的距离公式可得，（x₁-x₂）²=（

2b2

2b2+1

）²-4

-b4

2b2+1

=（

24

7

•

2

2

）²，从而可得

8b4(b2+1)

(2b2+1)2

=

288

49

，进而求出椭圆的方程．
（2）假设存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，解出点M的坐标为（-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

，-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2），点N的坐标为（

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

，

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2），由M、N、F₂，三点共线可知斜率相等，从而得到-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2+1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2+1）=0对任意x₀都成立，从而解出m．

解答： 解：（1）如右图：由题意知，c=1，则a²=b²+1，
过F₂斜率为1的直线方程为y=x-1，与椭圆方程

y2

a2

+

x2

b2

=1联立消y可得，

(x-1)2

b2+1

+

x2

b2

=1，即（2b²+1）x²-2b²x-b⁴=0，
设A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，则
x₁+x₂=

2b2

2b2+1

，x₁x₂=

-b4

2b2+1

，又∵|AB|=

24

7

，
则（x₁-x₂）²=（

2b2

2b2+1

）²-4

-b4

2b2+1

=（

24

7

•

2

2

）²，
即

8b4(b2+1)

(2b2+1)2

=

288

49

，
解得，b²=3，则a²=b²+1=4；
则椭圆的方程为

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）假设存在直线y=m，使得该直线上的任意点P（x₀，m）满足PC、PD与椭圆的另一交点M、N，MN的连线恒过F₂．
C（0，2），D（0，-2），
则直线CP的方程为y=

m-2

x0

x+2，与

y2

4

+

x2

3

=1联立消去y化简可得．
（3(

m-2

x0

)2+4）x²+12

m-2

x0

x=0，
解得，x=0或x=-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

；
则点M的坐标为（-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

，-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2），
同理，点N的坐标为（

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

，

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2），
则由M、N、F₂，三点共线可知，
-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2+1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2+1）=0，
即：

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

-3）=0，
即x₀[9（m+2）²（m-2）-3（m-2）²（m+2）-4x₀²[（m-2）-3（m+2）]]=0，
∵x₀任意，则9（m+2）²（m-2）-3（m-2）²（m+2）=0且（m-2）-3（m+2）=0，
解得，m=-4．

点评：本题考查了椭圆的方程的求法解三点共线问题，同时考查了圆锥曲线与直线的交点问题及恒成立问题，属于难题．