Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，A，B，C是同一直线上的三点，其横坐标分别为S_n+1，S_n，S_n-1（n≥2），且

AB

=

2an+1

an

BC

．在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设c_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，数列{c_n}的前n项和设为T_n，试比较T_n与1的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知得到数列递推式，整理后配方得到{a_n+1}是首项为2，公比也为2的等比数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n+1-b_n=log₂（a_n+1），利用累加法求得数列{b_n}的通项公式，代入c_n=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

整理后利用裂项相消法求得数列{c_n}的前n项和设为T_n，放缩后得答案．

解答： （1）证明：∵A，B，C是同一直线上的三点，其横坐标分别为S_n+1，S_n，S_n-1（n≥2），且

AB

=

2an+1

an

BC

．
∴Sn-Sn+1=

2an+1

an

(Sn-1-Sn)，
即-an+1=

2an+1

an

•(-an)，
a_n+1=2a_n+1，
则a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又a₁+1=2，a₂+1=4，
故{a_n+1}是首项为2，公比也为2的等比数列；
（2）解：由（1）知an=2n-1，
∴bn+1-bn=log22n=n，
则b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1．
∴bn=1+

n(n-1)

2

．
又cn=

4 n 2

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=

1

21-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1．

点评：本题考查了平面向量的坐标表示，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．